Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個(gè)動點(diǎn)，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

（1）；（2）證明見解析．

試題分析：（1）已知橢圓的長軸長，就是已知，那么在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中還有一個(gè)參數(shù)，正好橢圓過點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)的代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，得橢圓方程；（2）這是直線與橢圓相交問題，考查同學(xué)們的計(jì)算能力，給定了直線的方向向量，就是給出了直線的斜率，只要設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，就能寫出直線的方程，把它與橢圓方程聯(lián)立方程組，可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的值，看它與有沒有關(guān)系（是不是常數(shù)），當(dāng)然在求時(shí)，不一定要把兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求出（如直接求出，對下面的計(jì)算沒有幫助），而是采取設(shè)而不求的思想，即設(shè)，然后求出，，而再把用，表示出來然后代入計(jì)算，可使計(jì)算過程簡化．
試題解析：（1） 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032213805313.png" style="vertical-align:middle;" />的焦點(diǎn)在軸上且長軸為，
故可設(shè)橢圓的方程為（），            （1分）
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，               （2分）
解得，      （1分）
所以，橢圓的方程為．                      （2分）
（2）設(shè)（），由已知，直線的方程是，   （1分）
由  （*）          （2分）
設(shè)，，則、是方程（*）的兩個(gè)根，
所以有，，                 （1分）
所以，


（定值）．              （3分）
所以，為定值．                     （1分）
（寫到倒數(shù)第2行，最后1分可不扣）