Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）= 有4個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣ ，1）
B.（ ，1）
C.（ ，1）
D.（﹣1， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0，

∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，

∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，

則f（x）= ，即 ，

由f（x）= 得，f2（x）=x+a，

畫出函數(shù)y=x+a與y=f2（x）的圖象，如圖所示：

由圖知，當(dāng)直線y=x+a過(guò)點(diǎn)A時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，

且A（1，1），此時(shí)a=1，

當(dāng)直線y=x+a相切與點(diǎn)P時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，

由圖知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，

則y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x= ，則y= ，

此時(shí)切點(diǎn)P（ ， ），代入y=x+a得a= ，

∵方程f（x）= 有4個(gè)不相等的實(shí)根，

∴函數(shù)y=x+a與y=f2（x）的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

由圖可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ，1），

故選B．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．