Question

已知點(diǎn)A(-

3

，0)和B(

3

，0)，動(dòng)點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2，則點(diǎn)C的軌跡為雙曲線，結(jié)合雙曲線的定義，可得點(diǎn)C的軌跡方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，化簡可得x²+4x-6=0，設(shè)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6，結(jié)合弦長公式計(jì)算可得答案．

解答：解：設(shè)點(diǎn)C（x，y），則|CA|-|CB|=±2．
根據(jù)雙曲線的定義，可知點(diǎn)C的軌跡是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1．
由2a=2，2c=| AB |=2

3

，得a²=1，b²=2．
故點(diǎn)C的軌跡方程是x2-

y2

2

=1．
由

x2- y2 2 =1 y=x-2

，得　x²+4x-6=0．
∵△＞0，∴直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），則　x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-6．
故| DE |=

(x1-x 2)2+(y1-y2)2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的應(yīng)用，涉及弦長公式，是一道典型的解析幾何的題目，平時(shí)注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．