Question

（2013•威海二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

6

3

，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為

2 6

3

+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（2，0），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線l₁與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，過AB的中點(diǎn)N作直線l₂與y軸交于點(diǎn)P，D為N在直線l上的射影，若|ND|、

1

2

|AB|、|MP|成等比數(shù)列，求直線l₂的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

6

3

得

c

a

=

6

3

，由過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為

2 6

3

+2，得（a+c）•

b2

a

=

2 6

3

+2，結(jié)合a²=b²+c²求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)l₁的斜率為k₁，l₂的斜率為k₂，寫出直線l₁的方程，和橢圓方程聯(lián)立后由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長(zhǎng)公式求|AB|，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出N的坐標(biāo)，寫出NP所在直線方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，則|ND|、|MP|的長(zhǎng)度可求，由|ND|、

1

2

|AB|、|MP|成等比數(shù)列得到k₁，k₂的關(guān)系，由k₁的范圍可得k₂的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得

c a = 6 3 (a+c)• b2 a = 2 6 3 +2 a2=b2+c2

，解得

a= 6 b= 2

．
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)l₁的斜率為k₁，l₂的斜率為k₂，直線l₁的方程為y=k₁x+2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與橢圓方程

y=k1x+2 x2 6 + y2 2 =1

，整理得(3k12+1)x2+12k1x+6=0．
∵直線l₁與橢圓由兩個(gè)公共點(diǎn)，∴△=(12k1)2-4(3k12+1)•6＞0?3k12-1＞0．
∴k1＜-

3

3

或k1＞

3

3

．
由x1+x2=

-12k1

3k12+1

，x1x2=

6

3k12+1

，
得|AB|²=(1+k12)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k12)[

144k12

(3k12+1)

-

24

1+3k12

]
=

24(1+k12)(3k12-1)

(1+3k12)2

．
設(shè)N（x^′，y^′），則x′=

x1+x2

2

=

-6k1

3k12+1

，y′=k1x′+2=

2

3k12+1

．
∴直線NP的方程為y-

2

1+3k12

=k2(x+

6k1

1+3k12

)，令x=0，得yp=

6k1k2+2

1+3k12

，
∴|ND|=|1-

2

1+3k12

|=

(3k12-1)

1+3k12

，|MP|=|2-

6k1k2+2

1+3k12

|=|

6k12-6k1k2

1+3k12

|．
∵|ND|、

1

2

|AB|、|MP|成等比數(shù)列，則有|AB|²=4|MC|•|ND|
∴

24(1+k12)(3k12-1)

(1+3k12)2

=4

(3k12-1)

1+3k12

|

6k12-6k1k2

1+3k12

|
1+k12=|k12-k1k2|，則1+k12=k12-k1k2或1+k12=k1k2-k12
∴k2=-

1

k1

或k2=2k1+

1

k1

．
由k2=-

1

k1

，可得k2∈(-

3

，0)∪(0，

3

)
由k2=2k1+

1

k1

，可得k2∈(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)
∴k₂的取值范圍為(-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞)∪(-

3

，0)∪(0，

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題方法，考查了分類討論的解題思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．