Question

13．若$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，求函數(shù)y=（log₂x-1）（log₂x-2）的值域．

Answer 1

分析 由題意：log₂x=t，因為$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，即$\frac{1}{2}$≤t≤3，函數(shù)y=（t-1）（t-2）的值域問題．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解

解答 解：由題意：$\frac{1}{2}$≤log₂x≤3，令log₂x=t，即得：$\frac{1}{2}$≤t≤3，
那么：函數(shù)y=（log₂x-1）（log₂x-2）轉(zhuǎn)化為：y=（t-1）（t-2）=t²-3t+2，
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：開口向上，對稱軸t=$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$≤t≤3，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)y取得最小值為$-\frac{1}{4}$；
當(dāng)t=3時，函數(shù)y取得最大值為2；
故得函數(shù)y=（log₂x-1）（log₂x-2）的值域為[$-\frac{1}{4}$，2]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．