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【題目】某生態(tài)公園的平面圖呈長方形(如圖),已知生態(tài)公園的長AB=8(km),寬AD=4(km),M,N分別為長方形ABCD邊AD,DC的中點,P,Q為長方形ABCD邊AB,BC(不含端點)上的一點.現(xiàn)公園管理處擬修建觀光車道P﹣Q﹣N﹣M﹣P,要求觀光車道圍成四邊形(如圖陰影部分)的面積為15(km2),設BP=x(km),BQ=y(km),
(1)試寫出y關于x的函數關系式,并求出x的取值范圍;
(2)若B為公園入口,P,Q為觀光車站,觀光車站P位于線段AB靠近入口B的一側.經測算,每天由B入口至觀光車站P,Q乘坐觀光車的游客數量相等,均為1萬人,問如何確定觀光車站P,Q的位置,使所有游客步行距離之和最大,并求出最大值.

【答案】
(1)解:∵M,N是AD,CD的中點,AB=8,AD=4,BP=x,BQ=y,

∴SAMP= =8﹣x,SDMN= =4,SNCQ= =8﹣2y,SBPQ=

∵觀光車道圍成四邊形(如圖陰影部分)的面積為15(km2),

∴8﹣x+4+8﹣2y+ xy=4×8﹣15=17,

∴y= =

令0<y<4,即0< <4,解得0<x<3或5<x<8


(2)解:由題意可知0<x<3,

∴x+y=x+ =x+2﹣ ,

令f(x)=x+2﹣ ,則f′(x)=1﹣

令f′(x)=0得x=4﹣ ,

∴當0<x 時.f′(x)>0,當4﹣ <x<3時,f′(x)<0,

∴f(x)在(0,4﹣ )上單調遞增,在(4﹣ ,3)上單調遞減,

∴當x=4﹣ 時,f(x)取得最大值6﹣2

∴所有游客的步行距離之和的最大值為20000×(6﹣2 )=40000(3﹣ )km


【解析】(1)根據面積列方程得出y關于x的解析式;(2)利用導數求出x+y的最大值,從而得出步行距離之和的最大值.

練習冊系列答案
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【題目】隨著資本市場的強勢進入,互聯(lián)網共享單車“忽如一夜春風來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調查機構借助網絡進行了問卷調查,并從參與調查的網友中抽取了200人進行抽樣分析,得到表格:(單位:人)

經常使用

偶爾或不用

合計

30歲及以下

70

30

100

30歲以上

60

40

100

合計

130

70

200

(1)根據以上數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為市使用共享單車情況與年齡有關?

(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.

(i)分別求這5人中經常使用、偶爾或不用共享單車的人數;

(ii)從這5人中,再隨機選出2人贈送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經常使用共享單車的概率.

參考公式: ,其中.

參考數據:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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(3)若a=2,求△ABC周長的取值范圍.

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(2)若點分別為上的點,且,在線段上是否存在一點,使得平面;若存在,求出三棱錐的體積;若不存在,請說明理由.

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A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)﹣f(2)
B.0<f′(3)<f(3)﹣f(2)<f′(2)
C.0<f(3)<f′(2)<f(3)﹣f(2)
D.0<f(3)﹣f(2)<f′(2)<f′(3)

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