Question

【題目】已知，是函數(shù)（其中常數(shù)）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最小值為0，則函數(shù)的最大值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先推出f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)，然后得出直線(xiàn)PA，PB分別與函數(shù)圖象相切時(shí)，的最小值為0，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線(xiàn)的斜率，解出a＝1，結(jié)合圖象可得x＝1時(shí)，f（x）的最大值為．

解：A，B是函數(shù)f（x）（其中a＞0）圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，

∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)．

當(dāng)點(diǎn)A，B分別位于分段函數(shù)的兩支上，

且直線(xiàn)PA，PB分別與函數(shù)圖象相切時(shí)，的最小值為0，

設(shè)PA與f（x）＝﹣e﹣x相切于點(diǎn)A（x0，y0），

∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，

∵的最小值為0，∴⊥，

∴kPA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，

∴a＝1，∴f（x）max．

故答案為：