已知向量
a
=(cosx,sinx),
b
=(-cosx,cosx),
c
=(-1,0)

(1)若x=
π
6
,求向量
a
c
的夾角;
(2)已知f(x)=2
a
b
+1
,且x∈[
π
2
,
8
]
,當(dāng)f(x)=
2
2
時,求x的值并求f(x)的值域.
分析:(1)兩向量的夾角余弦等于兩向量的數(shù)量積除以兩向量的模的乘積;
(2)利用向量的加減運(yùn)算化簡函數(shù)f(x),最終化成一個角的一個三角函數(shù)的形式,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求f(x)的值域.
解答:解:(1)cos?
a
,
c
>=
a
c
|
a
||
c
|
=
-cosx
cos2x+sin2x
(-1)2+02
=-cosx
=-cos
π
6
=cos
6
EM=
3
3
a
?
a
,
c
>=
6
(4分)
(2)f(x)=2
a
b
+1
=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)
=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)

f(x)=
2
2
,得sin(2x-
π
4
)=
1
2
x∈[
π
2
,
8
]
2x-
π
4
∈[
4
,2π]

∴當(dāng)2x-
π
4
=
6
,即x=
13π
24
時,f(x)=
2
2
(10分)
點(diǎn)評:考查向量的運(yùn)算法則;利用法則求向量的夾角;三角函數(shù)的公式和性質(zhì).本題解答的關(guān)鍵是函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用,解題時,注意三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
,
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)設(shè)
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
,
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函數(shù)f(x)=
a
b
(λ為常數(shù))的最小正周期為π.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(
π
4
,0)
,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,
12
]
上的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
,
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函數(shù)f(x)=2
a
b
-1
的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求證:
a
b
;
(2)設(shè)f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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