Question

4．已知函數f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x（a∈R）．
（1）當a=-2時，求函數f（x）的極值；
（2）若f（x）在[-1，1]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=-2代入f（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）在[-1，1]上單調遞減，即f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，對a進行分類討論即可解出a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-2時，f（x）=（2x²-2x-2）•e^x，定義域為R．
f′（x）=（2x²-2x-2）•e^x+（4x-2）•e^x=2（x-1）（x+2）•e^x．
由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（-2，1）．
（2）f′（x）=（-ax²-2x+a）•e^x+（-2ax-2）•e^x=-[ax²+2（a+1）x+2-a]•e^x．
令g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2．
①當a=0時，g（x）=-2x-2，在（-1，1）內g（x）＜0，f′（x）＜0，
函數f（x）在[-1，1]上單調遞減．
②當a＞0時，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數，其對稱軸為x=-1-$\frac{1}{a}$＜-1，
當且僅當g（-1）≤0，即a≤0時，f′（x）≤0，此時無解．
③當a＜0時，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函數，
當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a≤0}\\{g（1）=-2a-4≤0}\end{array}\right.$．∴-2≤a＜0時，f′（x）≤0，
此時函數f（x）在[-1，1]上單調遞減．
綜上，實數a的取值范圍是[-2，0]．

點評 本題考查導數與函數單調性的關系，對可導函數f（x）來說，f′（x）≤0（不總為0）是f（x）在某區(qū)間上單調遞減的充要條件．