Question

12．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O在△ABC內(nèi)，∠OPC=45°，∠OPA=60°，則∠OPB的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征我們易判斷出這是一個有三條棱在P點兩兩垂直的三棱錐，由已知中O在△ABC內(nèi)，∠OPC=45°，∠OPA=60°，利用“三余弦”定理，我們易求出∠OPB的余弦值．

解答 解：已知如圖所示：過O做平面PBC的垂線，交平面PBC于Q，連接PQ
則∠OPQ=90°-45°=45°．
∵cos∠OPA=cos∠QPA×cos∠OPQ，
∴cos∠QPA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠QPA=45°，
∴∠QPB=45°
∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=$\frac{1}{2}$．
故選C．

點評 本題考查的知識點是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中利用“三余弦”定理是解答本題的關(guān)鍵．