Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$（n≥2），則數(shù)列{a_n•a_n+1}的前10項(xiàng)和為（　�。�

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{11}{10}$
• D． $\frac{12}{11}$

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系式，判斷數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，然后化簡(jiǎn)所求的思路的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求解即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$（n≥2），依題意a_n＞0且n≥2時(shí)，
a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1+1}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，即a_n=$\frac{1}{n}$，∴a_n•a_n+1$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴S₁₀=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．