Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且橢圓 過點(diǎn) ，直線 過橢圓 的右焦點(diǎn) 且與橢圓 交于 兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)已知點(diǎn) ，求證：若圓 與直線 相切，則圓 與直線 也相切.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0)，依題意，
解得 ，c=1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 ，M ， N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P（4,0）在x軸上，所以直線PM與直線PN關(guān)于x軸對(duì)稱，所以點(diǎn)O到直線PM與直線PN的距離相等，故若圓 與直線PM相切，則也會(huì)與直線PN相切；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 ， ， ，
由 得：
所以 ， ，
， ，

，
所以， ，于是點(diǎn)O到直線PM與直線的距離PN相等，
故若圓 與直線PM相切，則也會(huì)與直線PN相切；
綜上所述，若圓 與直線PM相切，則圓 與直線PN也相切
【解析】(1)利用已知條件列出關(guān)于a、b的方程組，即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。(2)根據(jù)題意對(duì)直線的斜率分類討論，若圓與直線相切等價(jià)于kPM+kPN=0聯(lián)立方程借助韋達(dá)定理即可證明等式即可。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．