Question

    如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)．

 （Ⅰ）求證：A₁B//平面ADC₁；

 （Ⅱ）若AB=BB₁=2，求A₁D與平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

證明：（I）因?yàn)槿�棱�?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515115033270127.files/image134.gif'>是直三棱柱，所以四邊形是矩形。

連結(jié)交于O，則O是的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，所以在中，。

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515115033270127.files/image140.gif'>平面，平面，所以平面。

（II）因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/03/25/15/2014032515115033270127.files/image144.gif'>是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以。以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系。由已知，得：

，，，.

則，，設(shè)平面的法向量為。

由，得到，令，則，，所以.

又，得。

所以

設(shè)與平面所成角為，則。

所以與平面所成角的正弦值為。