已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠ABC＝120°，又PC⊥平面ABCD，PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．

(1)求證：平面EBD⊥平面ABCD；

(2)求直線PB與直線DE所成的角的余弦值；

(3)設(shè)二面角A－BE－D的平面角為，求的值．

答案：
解析：

　　由PC⊥平面ABCD，所以以C為原點(diǎn)，CA所在直線為y軸，CP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

　　∵ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠ABC＝120°，

　　PC＝a，E是PA的中點(diǎn)．所以

　　

　　P(0，0，a)，∵E是PA的中點(diǎn)，∴．－－－2分

　　(1)設(shè)AC和BD交于點(diǎn)Q，則Q(0，a，0)，∴＝(0，0，a，)，

　　＝2，PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD，平面EBD⊥平面ABCD；－－－4分

　　(2)∵·＝(–，，–a)·(–，0，，)＝－，

　　||＝，||＝，

　　∴cos＜，＞＝＝；－4分

　　(3)設(shè)平面ABE的法向量為p＝(x，y，z)，可得p＝(–，1，)，

　　又AC⊥BC，得AC⊥面BDE，又＝(0，a，0)，

　　∴取平面BDE的法向量q＝(0，，0)，

　　∴p·q＝，|p|＝，|q|＝，

　　∴cosq ＝．－－－4分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

9、已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，
平面PBC垂直平面ABCD，試探求直線PA與BD的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時(shí)異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長(zhǎng)度．

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