【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.

(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長(zhǎng).

【答案】(Ⅰ)證明:取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,

∵M(jìn)為AD中點(diǎn),∴MF∥BD,
∵BD平面BDE,MF平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N為BC中點(diǎn),∴NF∥AC,
又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn),∴DE∥AC,則NF∥DE.
∵DE平面BDE,NF平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A為原點(diǎn),分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),
,
設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為 ,
,得 ,取z=2,得
由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為
∴cos< >=
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值為 ,則正弦值為 ;
(Ⅲ)解:設(shè)AH=t,則H(0,0,t), ,
∵直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,
∴|cos< >|=| |=| |=
解得:t=4.
∴當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,此時(shí)線段AH的長(zhǎng)為4.
【解析】(Ⅰ)取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,由已知可證MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A為原點(diǎn),分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,進(jìn)一步求得正弦值;
(Ⅲ)設(shè)AH=t,則H(0,0,t),求出 的坐標(biāo),結(jié)合直線NH與直線BE所成角的余弦值為 列式求得線段AH的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,以及對(duì)平面與平面平行的判定的理解,了解判斷兩平面平行的方法有三種:用定義;判定定理;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求應(yīng)從初級(jí)教師,中級(jí)教師,高級(jí)教師中分別抽取的人數(shù);

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