Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定收入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺(tái)，需要加可變成本（即另增加投入）0.25萬元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)R（x）=5x-

x2

2

（萬元）（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）
（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)
（2）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠所得利潤(rùn)最大？
（3）年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠才不虧本？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分0≤x≤5和x＞5兩種情況進(jìn)行討論，分別根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系，即可得到利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）所得的分段函數(shù)，分類討論，分別求出兩段函數(shù)的最值，然后進(jìn)行比較，即可得到答案；
（3）工廠不虧本時(shí)，則利潤(rùn)大于等于0，從而根據(jù)利潤(rùn)的表達(dá)式，列出不等式，求解即可得到答案．

解答：解：（1）∵某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本0.25萬元，產(chǎn)品售出的數(shù)量為x百臺(tái)，銷售的收入函數(shù)R（x）=5x-

x2

2

（萬元）（0≤x≤5），設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（x），
∴當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
L（x）=（5x-

x2

2

）-（0.5+0.25x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
當(dāng)x＞5時(shí)，只能售出5百臺(tái)，
∴L（x）=（5×5-

52

2

）-（0.5+0.25x）=12-0.25x，
綜上，L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

；
（2）∵L（x）=

- x2 2 +4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5，
∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=4.75，
∴當(dāng)x=4.75時(shí)，L（x）_max=L（4.75）=10.75；
②當(dāng)x＞5時(shí)，L（x）=12-0.25x為R上的減函數(shù)，
∴L（x）＜L（5）=10.75．
綜合①②，當(dāng)x=4.75時(shí)，L（x）取最大值，
∴年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)，所利潤(rùn)最大．
（3）∵工廠不虧本時(shí)，則L（x）≥0，
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，令L（x）=-

x2

2

+4.75x-0.5≥0，解得0≤x≤5；
當(dāng)x＞5時(shí)，令L（x）=12-0.25x≥0，解得5＜x≤48，
∴年產(chǎn)量是0≤x≤48時(shí)，工廠才不虧本．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，本題建立的數(shù)學(xué)模型為二次函數(shù)和分段函數(shù)，應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．屬于中檔題．