【題目】已知橢圓,直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O且不平行與坐標(biāo)軸,l與相交于A,B兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為M.
(1)證明:直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值;
(2)若直線l過點(diǎn),延長線與交于點(diǎn)P,若四邊形是平行四邊形,求直線l的斜率;
【答案】(1) 直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值;(2)
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),再代入橢圓方程,相減后即可求得的斜率與中點(diǎn)與的斜率.再化簡證明乘積為定值即可.
(2) 點(diǎn),再根據(jù)四邊形是平行四邊形可得在橢圓上,進(jìn)而求得的關(guān)系,再設(shè)直線的方程,聯(lián)立橢圓方程求代入關(guān)系化簡即可.
(1) 設(shè)且,則,①②,
①-②得:,,
.又,
故,,
故直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.
(2)由題,因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形,故,設(shè)則.又 ,且.
故,化簡得.
當(dāng)直線斜率為0時(shí), 四邊形不是平行四邊形.
故設(shè)直線的方程,則.
故,又 ..
故,故,.
故此時(shí)求直線l的斜率為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對同學(xué)們而言,冬日的早晨離開暖融融的被窩,總是一個巨大的挑戰(zhàn),而咬牙起床的唯一動力,就是上學(xué)能夠不遲到.己知學(xué)校要求每天早晨7:15之前到校,7:15之后到校記為遲到.小明每天6:15會被媽媽叫醒起味,吃早餐、洗漱等晨間活動需要半個小時(shí),故每天6:45小明就可以出門去上學(xué).從家到學(xué)校的路上,若小明選擇步行到校,則路上所花費(fèi)的時(shí)間相對準(zhǔn)確,若以隨機(jī)變量(分鐘)表示步行到校的時(shí)間,可以認(rèn)為.若小明選擇騎共享單車上學(xué),雖然騎行速度快于步行,不過由于車況、路況等不確定因素,路上所需時(shí)間的隨機(jī)性增加,若以隨機(jī)變量(分鐘)描述騎車到校的時(shí)間,可以認(rèn)為.若小明選擇坐公交車上學(xué),速度很快,但是由于等車時(shí)間、路況等不確定因素,路上所需時(shí)間的隨機(jī)性進(jìn)一步增加,若以隨機(jī)變量(分鐘)描述坐公交車到校所需的時(shí)間,則可以認(rèn)為.
(1)若某天小明媽媽出差沒在家,小明一覺醒來已經(jīng)是6:40了,他抓緊時(shí)間洗漱更衣,沒吃早飯就出發(fā)了,出門時(shí)候是6:50.請問,小明是否有某種出行方案,能夠保證上學(xué)不遲到?小明此時(shí)的最優(yōu)選擇是什么?
(2)已知共享單車每20分鐘收費(fèi)一元,若小明本周五天都騎共享單車上學(xué),以隨機(jī)變量表示這五天小明上學(xué)騎車的費(fèi)用,求的期望與方差(此小題結(jié)果均保留三位有效數(shù)字)
已知若隨機(jī)變量,則%,%,%.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥,為了美觀,將種植區(qū)域(區(qū)域I)設(shè)計(jì)成半徑為1km的扇形,中心角().為方便觀賞,增加收入,在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)(區(qū)域II)和休閑區(qū)(區(qū)域III),并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形,其中點(diǎn),分別在邊和上.已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬元、20萬元、20萬元.
(1)要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬元,求的最大值;
(2)試問:當(dāng)為多少時(shí),年總收入最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線以A、B為頂點(diǎn),焦距為,點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍;
(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對稱?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將初始溫度為的物體放在室溫恒定為的實(shí)驗(yàn)室里,現(xiàn)等時(shí)間間隔測量物體溫度,將第次測量得到的物體溫度記為,已知.已知物體溫度的變化與實(shí)驗(yàn)室和物體溫度差成正比(比例系數(shù)為).給出以下幾個模型,那么能夠描述這些測量數(shù)據(jù)的一個合理模型為__________:(填寫模型對應(yīng)的序號)
①;②;③.
在上述模型下,設(shè)物體溫度從升到所需時(shí)間為,從上升到所需時(shí)間為,從上升到所需時(shí)間為,那么與的大小關(guān)系是________(用“”,“”或“”號填空)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】至年底,我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位,下表是我國年至年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).
注:年份代碼~分別表示~.
(1)可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中哪一年的增長率達(dá)到最高,最高是多少?
(2)建立關(guān)于的回歸直線方程(精確到),并預(yù)測我國發(fā)明專利申請量突破萬件的年份.
參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為.
(1)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的方程;
(2)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1,2,分別過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線交拋物線于另外不同兩點(diǎn),求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹,2019年國慶70周年閱兵有59個方(梯)隊(duì)和聯(lián)合軍樂團(tuán),總規(guī)模約1.5萬人,是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.其中,徒步方隊(duì)15個.為了保證閱兵式時(shí)隊(duì)列保持整齊,各個方隊(duì)對受閱隊(duì)員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制,太高或太矮都不行.徒步方隊(duì)隊(duì)員,男性身高普遍在175cm至185cm之間;女性身高普遍在163cm至175cm之間,這是常規(guī)標(biāo)準(zhǔn).要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊(duì),其隊(duì)員的身高一般都在184cm至190cm之間.經(jīng)過隨機(jī)調(diào)查某個閱兵陣營中女子100人,得到她們身高的直方圖,如圖,記C為事件:“某一閱兵女子身高不低于169cm”,根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.5.
(1)求直方圖中a,b的值;
(2)估計(jì)這個陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】連續(xù)投擲2粒大小相同,質(zhì)地均勻的骰子3次,則恰有2次點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為( )
A.B.C.D.
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