【題目】已知函數(shù),其中

(1)當(dāng)時(shí),處取得極值,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

①求的取值范圍;

②求證:

【答案】(Ⅰ)減區(qū)間為,增區(qū)間為.(Ⅱ)①②詳見解析

【解析】試題分析:(Ⅰ)由極值定義可得,從而可解得.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)符號,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間,(Ⅱ)①先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性,即函數(shù)為非單調(diào)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)必有零點(diǎn),再根據(jù)函數(shù)單調(diào)變化規(guī)律得函數(shù)最大值必大于零,又端點(diǎn)函數(shù)值趨于負(fù)無窮,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn),最后解最大值大于零時(shí)的取值范圍,②等價(jià)于,由零點(diǎn)條件得,,兩式相加與相減再相除消去,因此轉(zhuǎn)化為證明,即需證明,令,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,得,即可得到結(jié)論.

試題解析:(Ⅰ)解:由已知得,

所以,所以

所以

,由./span>

所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為

(Ⅱ)①解:由已知

所以,

當(dāng)時(shí),顯然恒成立,此時(shí)函數(shù)在定義域內(nèi)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.當(dāng)時(shí),令

;

所以極大值為,解得

時(shí),,時(shí),

所以當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).

②證明:,為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),不妨設(shè)

所以,,

兩式相減得,兩式相加得

要證,即證,

即證,即證

,即證

,則,

所以,即,

所以,所以

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】【2015高考四川,文21】已知函數(shù)f(x)-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.

()設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;

()證明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+)內(nèi)有唯一解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線與圓C:相交于A,B兩點(diǎn),弦AB中點(diǎn)為M(0,1),

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍以及直線的方程;

(2)若圓C上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)已知N(0,3),若圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)

.

(1)求

處的切線方程;

(2)令

,求

的單調(diào)區(qū)間;

(3)若任意

,都有

恒成立,求實(shí)數(shù)

的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2017年1月1日,作為貴陽市打造“千園之城”27個(gè)示范性公園之一的泉湖公園正式開園.元旦期間,為了活躍氣氛,主辦方設(shè)置了水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目向全體市民開放.現(xiàn)從到公園游覽的市民中隨機(jī)抽取了60名男生和40名女生共100人進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)出100名市民中愿意接受挑戰(zhàn)和不愿意接受挑戰(zhàn)的男女生比例情況,具體數(shù)據(jù)如圖表:

(1)根據(jù)條件完成下列

列聯(lián)表,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的情況下愿意接受挑戰(zhàn)與性別有關(guān)?

愿意

不愿意

總計(jì)

男生

女生

總計(jì)

(2)水上挑戰(zhàn)項(xiàng)目共有兩關(guān),主辦方規(guī)定:挑戰(zhàn)過程依次進(jìn)行,每一關(guān)都有兩次機(jī)會挑戰(zhàn),通過第一關(guān)后才有資格參與第二關(guān)的挑戰(zhàn),若甲參加每一關(guān)的每一次挑戰(zhàn)通過的概率均為

,記甲通過的關(guān)數(shù)為

,求

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù):

0.1

0.05

0.025

0.01

2.706

3.841

5.024

6.635

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列5個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是( )

①對于命題p:x∈R,使得x2+x+1<0,則綈p:x∈R,均有x2+x+1>0;

②m=3是直線(m+3)x+my-2=0與直線mx-6y+5=0互相垂直的充要條件;

③已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則線性回歸方程為=1.23x+0.08;

④若實(shí)數(shù)x,y∈[-1,1],則滿足x2+y2≥1的概率為

⑤曲線y=x2與y=x所圍成圖形的面積是S= (x-x2)dx.

A.2 B.3 C.4 D.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】醫(yī)用放射性物質(zhì)原來質(zhì)量a,每年衰減的百分比相同,當(dāng)衰減一半時(shí),所用時(shí)間是10年,根據(jù)需要,放射性物質(zhì)至少要保留原來的,否則需要更換.已知到今年為止,剩余為原來的,

(1)求每年衰減的百分比;

(2)到今年為止,該放射性物質(zhì)衰減了多少年?

(3)今后至多還能用多少年?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí), ,則函數(shù)在區(qū)間[-7,1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù)滿足對任意,恒有,且不恒為0.

(1)求的值;

(2)試判斷的奇偶性,并加以證明;

(3)若,恒有,求滿足不等式的取值集合.

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