【題目】記無窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為，最小值為，令，.

（1）若，請(qǐng)寫出的值；

（2）求證：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件；

（3）若對(duì)任意，有，且，請(qǐng)問：是否存在，使得對(duì)于任意不小于的正整數(shù)，有成立？請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）5；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析.

【解析】

（1）計(jì)算得到，代入計(jì)算得到答案.

（2）分別證明充分性和必要性得到答案.

（3）反證法，假設(shè)不成立，則或 得到，

，通過累加得到，與題設(shè)矛盾，得證.

（1）（1），則，

（2）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為

則，為定值，故數(shù)列是等差數(shù)列；

數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則

和，和至少一組相等，不妨設(shè)只有

則故

故，為等差數(shù)列

同理可得只有和都相等的情況，故數(shù)列是等差數(shù)列

綜上所述：“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件

（3）存在

假設(shè)不存在，則或，對(duì)任意，一定存在使得符號(hào)相反.

所以數(shù)列中存在，其中

且；

因?yàn)?/span>，即

注意到：，有且僅有一個(gè)等號(hào)成立.

所以必有

所以，所以

因?yàn)?/span>，所以，所以

；；…

累加可得；

故

這與矛盾，假設(shè)不成立

故存在，使得對(duì)于任意不小于的正整數(shù)，有成立

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)由方程確定，下列結(jié)論正確的是________（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）

① 是上的單調(diào)遞減函數(shù)；

② 對(duì)于任意，恒成立；

③ 對(duì)于任意，關(guān)于的方程都有解；

④ 存在反函數(shù)，且對(duì)任意，總有成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求證：由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對(duì)稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為等差數(shù)列，則使等式能成立的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值為_________；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列為首項(xiàng)是4，公差為1的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且。

（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式和；

（2）問是否存在使成立？若存在，求出，若不存在，說明理由；

（3）對(duì)任意的正數(shù),不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】省環(huán)保廳對(duì)、、三個(gè)城市同時(shí)進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，測(cè)得三個(gè)城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個(gè)，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)如下表所示：

城

城

城

優(yōu)（個(gè)）

28

良（個(gè)）

32

30

已知在這180個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)，恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.

（1）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個(gè)數(shù)據(jù)中抽取30個(gè)進(jìn)行后續(xù)分析，求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；

（2）已知， ，求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，空間直角坐標(biāo)系中，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，且底面在平面內(nèi)，點(diǎn)在軸正半軸上，平面，側(cè)棱與底面所成角為45°；

（1）若是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過、兩點(diǎn)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，試給出與滿足的關(guān)系式；

（2）若是棱上的一個(gè)定點(diǎn)，它到平面的距離為（），寫出、兩點(diǎn)之間的距離，并求的最小值；

（3）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)（），使得當(dāng)取得最小值時(shí)，異面直線與互相垂直？請(qǐng)說明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的映射，記作或，其中都是實(shí)數(shù).定義映射的模為:在的條件下 的最大值記做.若存在非零向量，及實(shí)數(shù)使得，則稱為的一個(gè)特征值.

（1）若求；

（2）如果,計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；

（3）試找出一個(gè)映射，滿足以下兩個(gè)條件:①有唯一特征值，②.(不需證明)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線 (為參數(shù)) 上任意一點(diǎn)經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線．

（Ⅰ）求曲線和直線的普通方程；

（Ⅱ）點(diǎn)P為曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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