Question

2．已知函數(shù)f（x）=a^|x-b|（a＞0，a≠1），則對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，m，n，p，關(guān)于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

• A． {1，3}
• B． {1，4}
• C． {1，3，4}
• D． {1，2，3，4}

Answer 1

分析 關(guān)于f（x）的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集可能只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，再利用指數(shù)函數(shù)類型函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：關(guān)于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是C．下面給出證明：
若此方程關(guān)于f（x）只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根α，
則a^|x-b|=α＞0，必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可能為{1，3}，或{1，4}．
若此方程關(guān)于f（x）若有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根α，β，
則a^|x-b|=α或β＞0，必有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可能為{1，2，3，4}．
因此關(guān)于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是C．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)類型函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實(shí)數(shù)根，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．