Question

將模為

2

的向量

OA1

繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)

π

4

且模變?yōu)樵瓉淼?span id="p7rjrjb" class="MathJye">

2

2

得到向量

OA2

，講向量

OA2

繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)

π

4

且模變?yōu)樵瓉淼?span id="hzrh7nv" class="MathJye">

2

2

得到向量

OA3

，…，仿此無限進(jìn)行下去，記△OA₁A₂的面積為a₁，△OA₂A₃的面積為a₂，…，△OA_nA_n+1的面積為a_n，…
（1）求所有這些三角形的面積和；
（2）對于數(shù)列{a_n}，能否從中取出無限項(xiàng)組成一個新的等比數(shù)列{b_n}，使得數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)和為數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和的

4

15

？若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，寫出理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：（1）運(yùn)用三角形的面積公式，求出數(shù)列{a_n}的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列{a_n}為無窮遞縮等比數(shù)列，則所有這些三角形的面積和為S=

a1

1-q

，代入數(shù)據(jù)即可得到；
（2）假設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為t，則由數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)和為數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和的

4

15

，即有

b1

1-t

=

4

15

，可取t=

1

16

，b₁=

1

4

，成立，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)即可判斷．

解答： 解：（1）a₁=

1

2

|

OA1

|•|

OA2

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

×1×

2

2

=

1

2

，
a₂=

1

2

|

OA2

|•|

OA3

|•sin

π

4

=

1

2

×1×

2

2

×

2

2

=

1

4

，
a₃=

1

2

|

OA3

|•|

OA4

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

2

×

1

2

×

2

2

=

1

8

，
…
a_n=

1

2

|

OAn

|•|

OAn+1

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

•(

2

2

)n-1•

2

•(

2

2

)n•

2

2

=(

1

2

)n．
由于數(shù)列{a_n}為無窮遞縮等比數(shù)列，
則所有這些三角形的面積和為S=

a1

1-q

=

1 2

1- 1 2

=1；
（2）假設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為t，
則由數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)和為數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和的

4

15

，
即有

b1

1-t

=

4

15

，可取t=

1

16

，b₁=

1

4

，成立，
故存在數(shù)列{b_n}，且b_n=

1

4

•(

1

16

)n-1=（

1

4

）^2n-1，
使得數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)和為數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)和的

4

15

．

點(diǎn)評：本題等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，考查三角形的面積公式，向量的模的概念，考查無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式及運(yùn)用，屬于中檔題．