Question

8．函數(shù)y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2，最小值-1，則實數(shù)（ab）²的值為（　�。�

• A． 1
• B． 8
• C． 9
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用二倍角的正弦公式和余弦公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，可得最值，解方程可得a，b，進而得到所求值．

解答 解：函數(shù)y=（acosx+bsinx）cosx
=a•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{bsin2x}{2}$
=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$（acos2x+bsin2x）
=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+θ）（θ為輔助角），
則f（x）的最大值為$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，最小值為$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
由題意可得$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，且$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=-1，
解得a=1，b=±2$\sqrt{2}$，
則（ab）²=（±2$\sqrt{2}$）²=8．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查輔助角公式和正弦函數(shù)的值域的運用，以及化簡運算能力，屬于中檔題．