Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，求弦長|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)A在直線l上，求出a的值，即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且點(diǎn)A在直線l上，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴ρcosθ+ρsinθ=2，
∴x+y-2=0；
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4+5cost\\ y=3+5sint\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），普通方程為（x-4）²+（y-3）²=25，
∴C的軌跡是以C（4，3）為圓心，5為半徑的圓，
圓心到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{25-\frac{25}{2}}$=5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)，參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．