Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值與最小值；
（2）若于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）的最大值為，最小值為；（2）.

解析試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再求的根，再判斷根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)大致圖象，再從大致圖象并比較端點(diǎn)函數(shù)值的大小來確定最大值和最小值；（2）恒成立問題關(guān)鍵搞清變量和參數(shù)的關(guān)系，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原則，該題中首先利用的最大值小于，得關(guān)于恒成立的不等式，再根據(jù)，求參數(shù)的范圍.
試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9f/9/9f2291.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí) ；當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)減函數(shù)，在上單調(diào)增函數(shù)，∴在處取得極小值； 又，，∵∴∴，
∴時(shí)的最大值為，時(shí)函數(shù)取得最小值為．
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，故對(duì)任意，恒成立，
只要對(duì)任意恒成立，即恒成立，記，
∴，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.