Question

7．已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，若2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，那么橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合三角形中位線定理可知PF₂⊥x軸，又2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，則∠PF₁F₂=30°，再求解直角三角形可得橢圓的離心率．

解答 解：如圖，

設(shè)線段PF₁的中點(diǎn)為M，則OM∥PF₂，
∴PF₂⊥x軸，
又2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，則∠PF₁F₂=30°，
∴sin30°=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}=\frac{1}{2}$，得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．