Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點．
（I）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC=2，求三棱錐A-A₁BC的體積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）利用錐體的體積公式求體積．

解答：解：（I）證明：連結(jié)EO，OA．
∵E，O分別為B₁C，BC的中點，
∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB₁．
∴四邊形AOED是平行四邊形，
即DE∥OA，DE?平面ABC．
∴DE∥平面ABC．．
（II）解：設(shè)AB=x，AC=y，
則三棱錐A-A₁BC的體積V=VA1-ABC=

1

3

•2•

1

2

AB•AC=

1

3

xy．
又由題，x²+y²=4≥2xy，得xy≤2，且等號當(dāng)x=y=

2

時成立；
所以三棱錐A-A₁BC的體積的最大值為

2

3

．

點評：本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理，以及錐體的體積公式．