Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解f′（x）＜0，即可得到結(jié)論．
（2）解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，比較極值與最值的大小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
由f′（x）=-3x²+6x+9＜0，
即x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（3，+∞），（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，3）；
（2）列表如下；

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	a-14	遞減	a-7	遞增	a+ 22

∴f（x）_最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=-2，∴f（x）_最小值=f（-1）=-7
故函數(shù)的最小值是-7．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．