Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”，若a₁=1，a₂=-2，試寫(xiě)出該數(shù)列的前6項(xiàng)，并求出該6項(xiàng)之和；
（2）在“凸數(shù)列”{a_n}中，求證：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）設(shè)a₁=a，a₂=b，若數(shù)列{a_n}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令n=2，3，4，5，由題設(shè)條件能夠得到a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的值，從而能夠求出S₆．
（2）由條件得，a_n+3=-a_n，由此知a_n+6=-a_n+3=a_n．
（3）由題設(shè)條件能夠知a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．S₆=0．再由S_6n+k=S_k，n∈N^*，能夠?qū)С鰯?shù)列前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=0．（4分）
（2）由條件得，
∴a_n+3=-a_n，（6分）∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．（8分）
（3）a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．（10分）
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．（12分）
∴，k∈N^*（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列遞推式的靈活運(yùn)用．