Question

已知△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為

2 3

3

的等邊三角形，且平面ABC⊥平面DBC，過(guò)點(diǎn)A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（Ⅰ）求直線PD與平面ABC所成角的大��；
（Ⅱ）平面PDC與底面ABC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意可知直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，過(guò)D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，從而求出∠PDM，即為所求；
（II）延長(zhǎng)AO與PD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接MC，過(guò)O向MC作OH⊥MC于M，連接DH，則∠OHD為所求二面角的平面角，然后在直角三角形OHD中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，即直線PD與平面ABC所成角就是直線PD與直線OA所成的角，
過(guò)D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1?PM=1
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

即∠PDM=45°
（Ⅱ）延長(zhǎng)AO與PD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接MC，過(guò)O向MC作OH⊥MC于M，連接DH，則∠OHD為所求二面角的平面角
∵DO=1，AO=1，MO=1，
∴HO=

MO•OC

MC

=

1× 3 3

2 3 3

=

1

2

cos∠OHD=

OH

DH

=

1 2

1+ 1 4

=

5

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面所成角的度量以及二面角平面角的度量，解題的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，屬于中檔題．