Question

12．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．
（1）求m的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并加以證明；
（3）證明：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），代入解析式求出m的值；
（2）利用奇偶性的定義判斷f（x）為定義域上的奇函數(shù)；
（3）利用單調(diào)性的定義可證明f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），
得2=1+$\frac{m}{1}$，
解得m=1；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）具有對(duì)稱性，
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；…（3分）
（3）證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}+\frac{1}{x_1}）-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}x{\;}_2-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)…（4分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．