Question

4．若函數(shù)f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是等差源函數(shù)．判斷下列函數(shù)：
①y=log₂x；
②y=2^x；
③y=$\frac{1}{x}$中，
所有的等差源函數(shù)的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 利用等差源函數(shù)的定義、等差數(shù)列的定義即可判斷出結(jié)論．

解答 解：①∵log₂1，log₂2，log₂4構(gòu)成等差數(shù)列，∴y=log₂x是等差源函數(shù)；
②y=2^x不是等差源函數(shù)，因為若是，則2×2^p=2^m+2ⁿ，則2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，故y=2^x+1不是等差源函數(shù)；
③取$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$成等差數(shù)列，因此y=$\frac{1}{x}$是等差源函數(shù)．
綜上可得：只有①③正確．
故選：D．

點評 本題考查了等差源函數(shù)的定義、等差數(shù)列的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．