Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，建立等式關(guān)系，再根據(jù)切點在函數(shù)圖象建立等式關(guān)系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最大的一個就是最大值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2ax，
∵（1，f（1））在x+y-3=0上，
∴y=-x+3=f（1）=$\frac{1}{3}$-a+b=2①，
f′（1）=-1=1-2a②，
由①②解得：a=1，b=$\frac{8}{3}$；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+$\frac{8}{3}$，
∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點，所以有

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
∵f（0）=$\frac{8}{3}$，f（2）=$\frac{4}{3}$，f（-2）=-4，f（4）=8，
∴在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．