【題目】
如圖,在三棱錐中, 側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,為中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)平面
(Ⅱ)二面角的余弦值為
【解析】
證明:
(Ⅰ)由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA. 連結(jié)OA,△ABC為等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AO⊥BC. 又△SBC為等腰三角形,故SO⊥BC,且
SO=SA,
從而OA2+SO2=SA2, ……3分
所以△SOA為直角三角形,.
又AO∩BC=O,
所以SO⊥平面ABC. ……6分
(Ⅱ)解法一:
取SC中點(diǎn)M, 連結(jié)AM,OM, 由(Ⅰ)知, 得OM⊥SC,AM⊥SC.
為二面角的平面角. ……9分
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC得
AO⊥平面SBC,
所以AO⊥OM. 又,故
所以二面角的余弦值為……12分
解法二:
以O為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB、OA分別為x軸、y軸的正半軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)B(1,0,0),則
SC的中點(diǎn)
,.
故MO⊥SC,MA⊥SC,等于二面角的平面角. ……9分
所以二面角的余弦值為……12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (0,)B. (,e)C. (,)D. (0,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某國(guó)營(yíng)企業(yè)集團(tuán)公司現(xiàn)有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為了激化內(nèi)部活力,增強(qiáng)企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力,集團(tuán)公司董事會(huì)決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出()名員工從事第三產(chǎn)業(yè);調(diào)整后,他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬(wàn)元,剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高%.
(Ⅰ)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)?
(Ⅱ)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為線段上一點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲箱中裝有3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,乙箱中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),規(guī)定顧客購(gòu)物1000元以上,可以參與抽獎(jiǎng)一次,設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下:每次分別從以上兩個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出2個(gè)球,共4個(gè)球,若摸出4個(gè)球都是紅球,則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金300元;摸出的球中有3個(gè)紅球,則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金200元;摸出的球中有2個(gè)紅球,則獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金100元;其他情況不獲獎(jiǎng),每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中.
(1)求在1次摸獎(jiǎng)中,獲得二等獎(jiǎng)的概率;
(2)若3人各參與摸獎(jiǎng)1次,求獲獎(jiǎng)人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;
(3)若商場(chǎng)同時(shí)還舉行打9折促銷活動(dòng),顧客只能在兩項(xiàng)促銷活動(dòng)中任選一項(xiàng)參與.假若你購(gòu)買了價(jià)值1200元的商品,那么你選擇參與哪一項(xiàng)活動(dòng)對(duì)你有利?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,某校在高中生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡數(shù)學(xué) | 不喜歡數(shù)學(xué) | 合計(jì) | |
男生 | 40 | ||
女生 | 30 | ||
合計(jì) | 50 | 100 |
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“喜歡數(shù)學(xué)”與性別有關(guān)?說(shuō)明你的理由;
(3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照“是否喜歡數(shù)學(xué)”進(jìn)行分層抽樣,現(xiàn)隨機(jī)抽取6人,再?gòu)?/span>6人中抽取3人,求至少有1人“不喜歡數(shù)學(xué)”的概率.
下面的臨界值表供參考:
0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線相交于點(diǎn),將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,與曲線相交于點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了讓稅收政策更好的為社會(huì)發(fā)展服務(wù),國(guó)家在修訂《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》之后,發(fā)布了《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除暫行辦法》,明確“專項(xiàng)附加扣除”就是子女教育、繼續(xù)教育大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金贈(zèng)養(yǎng)老人等費(fèi)用,并公布了相應(yīng)的定額扣除標(biāo)準(zhǔn),決定自2019年1月1日起施行,某機(jī)關(guān)為了調(diào)查內(nèi)部職員對(duì)新個(gè)稅方案的滿意程度與年齡的關(guān)系,通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下2×2列聯(lián)表:
40歲及以下 | 40歲以上 | 合計(jì) | |
基本滿意 | 15 | 30 | 45 |
很滿意 | 25 | 10 | 35 |
合計(jì) | 40 | 40 | 80 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為滿意程度與年齡有關(guān)?
(2)為了幫助年齡在40歲以下的未購(gòu)房的8名員工解決實(shí)際困難,該企業(yè)擬員工貢獻(xiàn)積分(單位:分)給予相應(yīng)的住房補(bǔ)貼(單位:元),現(xiàn)有兩種補(bǔ)貼方案,方案甲:;方案乙:.已知這8名員工的貢獻(xiàn)積分為2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,將采用方案甲比采用方案乙獲得更多補(bǔ)貼的員工記為“類員工”.為了解員工對(duì)補(bǔ)貼方案的認(rèn)可度,現(xiàn)從這8名員工中隨機(jī)抽取4名進(jìn)行面談,求恰好抽到3名“類員工”的概率。
附:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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