Question

【題目】由無理數(shù)論引發(fā)的數(shù)字危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)，所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是____．

①沒有最大元素，有一個最小元素；②沒有最大元素，也沒有最小元素；

③有一個最大元素，有一個最小元素；④有一個最大元素，沒有最小元素.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由題意依次舉例對四個命題判斷，從而確定答案．

若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，則M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故①可能成立；

若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；則M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故②可能成立；

若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一個最大元素，N沒有最小元素，故④可能成立；

M有一個最大元素，N有一個最小元素不可能，因為這樣就有一個有理數(shù)不存在M和N兩個集合中，與M和N的并集是所有的有理數(shù)矛盾，故③不可能成立．

故答案為：①②④