Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且有S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）兩式作差即可求數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，找到規(guī)律即可求出通項(xiàng)；
（2）先把所求結(jié)論代入求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法即可求出其各項(xiàng)的和．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-2，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∴a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2，∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）∵b_n=na_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
因此：-T_n=1×2+（2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法．錯(cuò)位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．屬于中檔題．