【題目】如圖，已知橢圓 的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4，過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可得a，設(shè)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用斜率之積為，可得，即可得到b2，可得橢圓方程；

（2）設(shè)直線BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線的方程為：y（x+2）與x=4聯(lián)立，可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得線段MN的中點(diǎn)E．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式可得，只要證明1即可．

（1）設(shè)，，因點(diǎn)在橢圓上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為：，，，

聯(lián)立方程組，消去并整理得，

，則，.

直線的方程為，令得，

同理，；

所以，

代入化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)，又，

所以，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會(huì)的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評(píng).假設(shè)男性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認(rèn)為《流浪地球》好看的概率為.某機(jī)構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機(jī)采訪了4名觀眾（其中2男2女）.

（1）求這4名觀眾中女性認(rèn)為好看的人數(shù)比男性認(rèn)為好看的人數(shù)多的概率；

（2）設(shè)表示這4名觀眾中認(rèn)為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(I)若，判斷上的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)上的最小值；

(III)當(dāng)時(shí)，是否存在正整數(shù)n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥AB，PA⊥AD．

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）已知PA＝AD，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED＝2：1．

（ⅰ）若點(diǎn)F在棱PA上，且PF：FA＝2：1，求證：EF∥平面ABCD；

（ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，平面與平面所成的銳二面角的正切值是，則四棱錐外接球的表面積為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校高一1000名學(xué)生的物理成績(jī)，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生的期中考試成績(jī)，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)該校高一學(xué)生物理成績(jī)不低于80分的人數(shù)；

（2）若在本次考試中，規(guī)定物理成績(jī)?cè)?/span>m分以上（包括m分）的為優(yōu)秀，該校學(xué)生物理成績(jī)的優(yōu)秀率大約為18%，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與橢圓交于另一點(diǎn)．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的比值為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)為軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)說明滿足條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．

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