Question

如圖，將正分割成16個(gè)全等的小正三角形，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于同一直線上的點(diǎn)放置的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別依次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，則所有頂點(diǎn)的數(shù)之和　　　　　　．

Answer 1

5

試題分析：根據(jù)等差中項(xiàng)法分別求解n=2，3，4時(shí)的值，由此歸納出f（n）的值即可．解：由題意可得，（各點(diǎn)放的數(shù)用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示）當(dāng)n=2時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1，2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1，∴f（2）=2= ，當(dāng)n=3時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，且A+B+C=1，從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2，同樣根據(jù)等差中項(xiàng)可得，M的數(shù)為 ，所以 ，依次可知結(jié)論為，那么可知頂點(diǎn)處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1，則n=5時(shí)，所有頂點(diǎn)的數(shù)之和5，故答案為5.
點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用等差中項(xiàng)，進(jìn)行求解．考查了考試發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力．