Question

20．如圖，兩個(gè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C，P是曲線C上任意一點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷：
①P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）、E₁（0，-4）、E₂（0，4）四點(diǎn)的距離之和為定值；
②曲線C關(guān)于直線y=x、y=-x均對(duì)稱；
③曲線C所圍區(qū)域面積必小于36．
上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 ①，若點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）兩點(diǎn)的距離之和為定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）兩點(diǎn)的距離之和不為定值；
②，兩個(gè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1關(guān)于直線y=x、y=-x均對(duì)稱，曲線C關(guān)于直線y=x、y=-x均對(duì)稱；
③，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部．

解答 解：對(duì)于①，若點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，P到F₁（-4，0）、F₂（4，0）兩點(diǎn)的距離之和為定值、到E₁（0，-4）、E₂（0，4）兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；
對(duì)于②，兩個(gè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1關(guān)于直線y=x、y=-x均對(duì)稱，曲線C關(guān)于直線y=x、y=-x均對(duì)稱，故正確；
對(duì)于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．