Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n(n∈N^*).
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n;
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n.

Answer 1

（1）∵a_n+1=2S_n,∴S_n+1-S_n=2S_n,∴=3.
又∵S₁=a₁=1,
∴數(shù)列{S_n}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，
S_n=3^n-1(n∈N^*).
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1=2·3^n-2(n≥2),
∴a_n=
（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n.
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=1;
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+4·3⁰+6·3¹+…+2n·3^n-2,                            ①
3T_n=3+4·3¹+6·3²+…+2n·3^n-1,                                   ②
①-②得：
-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n·3^n-1
=2+2·-2n·3^n-1
=-1+(1-2n)·3^n-1.
∴T_n=+·3^n-1(n≥2).
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴T_n=+3^n-1(n-) (n∈N^*).