Question

α，β是關(guān)于x的方程x²+2x+p=0的兩個(gè)虛根，若復(fù)平面上α，β，1對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，那么實(shí)數(shù)p=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由題意，可設(shè)α=m+ni，則由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實(shí)數(shù)，n≠0．由根與系數(shù)的關(guān)系得到m，n的關(guān)系，上α，β，1對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求得到實(shí)數(shù)p的值．

解答： 解：設(shè)α=m+ni，則由實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得β=m-ni，且m與n為實(shí)數(shù)，n≠0．
由根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=2m=-2，α•β=m²+n²=p．∴p＞0．
∴m=-1，p=n²．
∵復(fù)平面上α，β，1對應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
∴tan

π

6

=

3

3

=

|n|

|m-1|

=

| P |

2

，
解得p=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對定理、根與系數(shù)的關(guān)系，三角形是正三角形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．