20.?dāng)?shù)列{xn}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:若Sn=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_n}$(x∈N*).
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正,且滿足an≤$\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$,a1=1,求證:a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn<$\frac{9}{8}$.

分析 (1)利用遞推關(guān)系即可得出.
(2)${a_n}≤\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$,而an>0,xn>0,k可得 $\frac{1}{a_n}≥\frac{1}{x_n}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}\Rightarrow$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥\frac{1}{x_n}$,利用“累加求和”方法可得 $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}≥\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}$,再利用等比數(shù)列的求和公式可得:${a_n}≤\frac{2}{{{3^n}-1}}$.進(jìn)而得出.

解答 解:(1)由${S_n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_n}$ …①,得:${S_1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_1}$,x1=1≠0.
當(dāng)n≥2 時(shí),${S_{n-1}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}{x_{n-1}}$ …②,
①-②可得:${x_n}=\frac{1}{3}{x_{n-1}}$ (n≥2 ),∴${x_n}={({\frac{1}{3}})^{n-1}}$.
(2)${a_n}≤\frac{{{x_n}{a_{n-1}}}}{{{x_n}+{a_{n-1}}}}$,而an>0,xn>0,
$\therefore$ $\frac{1}{a_n}≥\frac{1}{x_n}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}\Rightarrow$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}≥\frac{1}{x_n}$,
$\therefore$ $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}≥\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}$,
∵a1=1,$\therefore$ $\frac{1}{a_n}≥1+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+…+\frac{1}{x_n}=1+3+{3^2}+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$,
$\therefore$ ${a_n}≤\frac{2}{{{3^n}-1}}$.
設(shè)Sn=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn,∵${S_n}={a_1}{x_1}+{a_2}{x_2}+{a_3}{x_3}+…+{a_n}{x_n}≤1×1+\frac{2}{8}×\frac{1}{3}+\frac{2}{26}×\frac{1}{9}+…+\frac{2}{{{3^n}-1}}×\frac{1}{{{3^{n-1}}}}$,
當(dāng)n=1 時(shí),${S_1}=1<\frac{9}{8}$ 當(dāng)n=2 時(shí),${S_2}≤1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}<\frac{9}{8}$,
當(dāng)n≥3 時(shí),${a_n}{x_n}≤\frac{2}{{({{3^n}-1}){3^{n-1}}}}<\frac{2}{{{3^{2n-1}}-{3^{n-1}}}}=\frac{2}{{2•{3^{2n-2}}+{3^{2n-2}}-{3^{n-1}}}}<\frac{1}{{{3^{2n-2}}}}$
$\therefore$ ${S_n}<1+\frac{1}{12}+({\frac{1}{9^2}+\frac{1}{9^3}+…+\frac{1}{{{9^{n-1}}}}})=\frac{79}{72}-\frac{1}{{{9^{n-1}}}}<\frac{79}{72}<\frac{9}{8}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、“累加求和”、“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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