如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線
x2
3
-
y2
b2
=1  ( b＞0 )的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的半焦距c=
3+
3
3+
3
．
分析：連接AF1，根據(jù)△F2AB是等邊三角形可知∠AF2B=60°，根據(jù)F1F2是圓的直徑可表示出|AF1|、|AF2|，再由雙曲線的定義可得
3
c-c=2a，即可得到離心率的值．
解答：解：連接AF1，則∠F1AF2=90°，∠AF2B=60°
∴|AF1|=
1
2
|F1F2|=c，
|AF2|=
3
2
|F1F2|=
3
c，
∴
3
c-c=2a，
∴e=
c
a
=1+
3
，
又a=
3
，
∴c=
3
（1+
3
）=3+
3

故答案為：3+
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、雙曲線的基本性質(zhì)--離心率的求法．考查基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
5
2
，F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且
F1M
.
F2M
=-
1
4
．
（I）求雙曲線的方程；
（II）設(shè)A（m，0）和B(
1
m
，0)（0＜m＜1）是x軸上的兩點(diǎn)．過點(diǎn)A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，作直線BC交雙曲線于另一點(diǎn)E．證明直線DE垂直于x軸．中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•溫州二模）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x22
+y2=1的左、右焦點(diǎn)，M，N是以F1F2為直徑的圓上關(guān)于X軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（I）設(shè)直線MF1、NF2的斜率分別為k1，k2，求k1•k2值；
（II）直線MF1和NF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C、D．問是若存在實(shí)數(shù)λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求實(shí)數(shù)λ的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省福州市高三年級(jí)第二次月考數(shù)學(xué)試題（理科） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

    如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF2垂直于軸，橢圓下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，B，且

   （1）求橢圓的離心率；

  

（2）過F2作OM垂直的直線交橢圓于點(diǎn)P，Q，若，求橢圓方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：貴州省模擬題 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF2垂直于x軸，橢圓下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A、B，且OM∥AB，
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F2作于OM垂直的直線交橢圓于點(diǎn)P、Q，若，求橢圓的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)，M，N是以F1F2為直徑的圓上關(guān)于X軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（I）設(shè)直線MF1、NF2的斜率分別為k1，k2，求k1•k2值；
（II）直線MF1和NF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C、D．問是若存在實(shí)數(shù)λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求實(shí)數(shù)λ的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

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