Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2（n=1，2，3，…）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想數(shù)列{a_n}的通項公式（不需證明）；
（2）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，試求使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整數(shù)n，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出a₂，a₃，a₄的值，并猜想數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用數(shù)列的求和，求解S_n，求使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整數(shù)n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）a₂=a₁²-2a₁+2=5，a₃=a₂²-2×2a₂+2=7，
a₄=a₃²-2×3a₃+2=9．
猜想a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項3，公差為：2，
∴S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n（n∈N^*），
使得S_n＜2ⁿ成立的最小正整數(shù)n=6．
下證：當(dāng)n≥6（n∈N^*）時都有2ⁿ＞n²+2n．
①當(dāng)n=6時，2⁶=64，6²+2×6=48，64＞48，命題成立．
②假設(shè)n=k（k≥6，k∈N^*）時，2^k＞k²+2k成立，那么當(dāng)n=k+1時，
2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），
即n=k+1時，不等式成立；
由①②可得，對于所有的n≥6（n∈N^*）
都有2ⁿ＞n²+2n成立．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．