Question

下列說法：其中正確的個數(shù)是

 

①命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
②關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
③對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，則有當a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④

∫

1 0

1-x2

＜

∫

e 1

1

x

dx．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①根據(jù)含量詞的命題的否定對①進行判斷；
②不等式恒成立轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值進行判斷出；
③0是方程f（x）-kx=0的一個根，而當x＞0，k＞1時，方程

x

1+x

-kx=0無解，即函數(shù)g（x）無零點，同理x＜0時，亦無解，即可對③進行判斷；
④分別求出

∫

1 0

1-x2

dx與

∫

e 1

1

x

dx的值，即可對④進行判斷

解答： 解：對于①，命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”，故①正確；
對于②，∵0≤sin²x≤1，令sin²x=t，
∴sin²x+

2

sin2x

=t+

2

t

，則令f（t）=t+

2

t

，t∈[0，1]，
根據(jù)其圖象可知，當x＞

2

時，f（t）為遞增的，當0＜x≤

2

時，f（t）為遞減的，
∵t∈[0，1]，∴f（t）≥f（1）=1+2=3，
∴sin²x+

2

sin2x

≥3
∵a＜sin²x+

2

sin2x

恒成立時，只要a小于sin²x+

2

sin2x

的最小值即可，
故a＜3，故②正確；
③函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

的定義域為實數(shù)集R，圖象如圖所示
∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數(shù)g（x）的一個零點；
當x＞0時，若?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點，
則方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化為kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（-∞，0）上有零點，故③不正確；
④由定積分的幾何意義知，

∫

1 0

1-x2

dx=

1

4

×π•12=

π

4

＜1，
由微積分基本定理知，

∫

e 1

1

x

dx=ln

x|

e 1

=lne-ln1=1，
則

∫

1 0

1-x2

dx＜

∫

e 1

1

x

dx，故④正確．
故答案為：3

點評：本題考查含量詞的命題的否定、不等式恒成立問題、函數(shù)零點以及定積分的求值問題，屬于中檔題．