Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上一點(diǎn)，A₁，A₂分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的離心率為e，有下列命題：
①雙曲線的一條準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為

2ab

a2+b2

；
②若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為

2

；
③△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為a；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：分別求得雙曲線的漸近線和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長度判斷①正確．
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），進(jìn)而求得e的范圍，判斷②不正確．
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為O，內(nèi)切圓切PF₁于A點(diǎn)，PF₂于B點(diǎn)，F(xiàn)1F₂于C點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a．進(jìn)而根據(jù)|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，求得C的橫坐標(biāo)，判斷③正確．

解答：解：雙曲線的漸近線為y=±

b

a

x，準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，代入漸近線方程得y=±

ab

c

=

ab

a2+b2

∴準(zhǔn)線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為2×

ab

a2+b2

=

2ab

a2+b2

故①正確．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+

2

所以e的最大值是1+

2

②不正確．
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為O，內(nèi)切圓切PF₁于A點(diǎn)，PF₂于B點(diǎn)，F(xiàn)1F₂于C點(diǎn)，
因?yàn)槭莾?nèi)切圓，所以有OA⊥PF₁，OB⊥PF₂，OC⊥F₁F₂，且PA=PB，AF₁=F₁C，BF₂=CF₂．因?yàn)镺C⊥F₁F₂，即x軸，只要求出C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就等于求出了O點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
由雙曲線的性質(zhì)可知
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（|PA|+|AF₁|）-（|PB|+|BF₂|）=|CF₁|-|CF₂|=2a，
又∵|CF₁|+|CF₂|=2c，聯(lián)立可得CF₂=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O點(diǎn)橫坐標(biāo)就為a，故③正確．
故答案為①③

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．解題的前提是對雙曲線的基本知識能綜合掌握．