(2013•上海) 在xOy平面上,將兩個半圓。▁-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3),兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分,記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω.過(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,所得截面積為4π
1-y2
+8π.試利用祖恒原理、一個平放的圓柱和一個長方體,得出Ω的體積值為
2+16π
2+16π
分析:由題目給出的Ω的水平截面的面積,可猜想水平放置的圓柱和長方體的量,然后直接求出圓柱的體積與長方體的體積作和即可.
解答:解:因為幾何體為Ω的水平截面的截面積為4π
1-y2
+8π,該截面的截面積由兩部分組成,
一部分為定值8π,看作是截一個底面積為8π,高為2的長方體得到的,對于4π
1-y2
,看作是把一個半徑為1,
高為2π的圓柱平放得到的,如圖所示,

這兩個幾何體與Ω放在一起,根據(jù)祖恒原理,每個平行水平面的截面積相等,故它們的體積相等,
即Ω的體積為π•12•2π+2•8π=2π2+16π.
故答案為2π2+16π.
點評:本題考查了簡單的合情推理,解答的關(guān)鍵是由幾何體Ω的水平截面面積想到水平放置的圓柱和長方體的有關(guān)量,是中檔題.
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[
1
5
,+∞)
[
1
5
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2
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4
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=1
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lim
n→∞
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