Question

11．已知點(diǎn)A（a，b）和點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0兩側(cè)，給出下列說(shuō)法：
①3a-4b+10＞0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，a+b有最小值，無(wú)最大值；
③$\sqrt{{a^2}+{b^2}}＞2$；
④當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，$\frac{a-1}$的取值范圍為$（-∞，-\frac{5}{2}）∪（\frac{3}{4}，+∞）$．
其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②③④
• D． ③④

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，可以畫出點(diǎn)A（a，b）所在的平面區(qū)域，進(jìn)而結(jié)合二元一次不等式的幾何意義，兩點(diǎn)之間距離公式的幾何意義，及兩點(diǎn)之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個(gè)答案．可得結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，
故點(diǎn)A（a，b）在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)，

故3a-4b+10＜0，即①錯(cuò)誤；
當(dāng)a＞0時(shí)，a+b＞$\frac{5}{2}$，a+b無(wú)最小值，也無(wú)最大值，故②錯(cuò)誤；
設(shè)原點(diǎn)到直線3x-4y+10=0的距離為d，則d=$\frac{10}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=2，則$\sqrt{{a^2}+{b^2}}＞2$，故③正確；
當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，$\frac{a-1}$表示點(diǎn)A（a，b）與B（1，0）連線的斜率，
∵當(dāng)a=0，b=$\frac{5}{2}$時(shí)，$\frac{a-1}$=-$\frac{5}{2}$，
又∵直線3x-4y+10=0的斜率為$\frac{3}{4}$，
故$\frac{a-1}$的取值范圍為（-∞，-$\frac{5}{2}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞），故④正確；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的存在性與個(gè)數(shù)判斷等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．