Question

橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓上的一點，且滿足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求離心率的取值范圍；
（2）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為5

2

；
①求此時橢圓G的方程；
②設(shè)斜率為k（k≠0）的直線L與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關(guān)于過點P(0，-

3

3

)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算，橢圓的標準方程，橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的關(guān)系等知識點，
（1）我們設(shè)M（x，y），則易得向量

F1M

，

F2M

的坐標，由

F1M

•

F2M

=0，結(jié)合向量垂直的充要條件，我們即可得到x，y的關(guān)系式，又由M又在橢圓上，代入橢圓方程即可得到離心率的取值范圍．
（2）①由（1）的結(jié)論，我們易得到離心率e取得最小值時的橢圓方程（含參數(shù)），再點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為5

2

，我們易得到關(guān)于參數(shù)的方程，解方程即可得到橢圓的方程．②設(shè)出未知直線的方程，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，然后使用“設(shè)而不求”的方法，結(jié)合韋達定理及A、B兩點能否關(guān)于過點P(0，-

3

3

)、Q的直線對稱構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則

F1M

=(x+c，y)，

F2M

=(x-c，y)
由

F1M

•

F2M

=0?x2+y2=c2?y2=c2-x2（1分）
又M在橢圓上，∴y2=b2-

b2

a2

x2（2分）
∴c2-x2=b2-

b2

a2

x2?x2=a2-

a2b2

c2

，（3分）
又0≤x²≤a²∴0＜2-

1

e2

≤1?

2

2

≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1（5分）
（2）①當e=

2

2

時得橢圓為

x2

2b2

+

y2

b2

=1
設(shè)H（x，y）是橢圓上一點，
則|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b）
（6分）
設(shè)0＜b＜3，則-3＜-b＜0，當y=-b時，|HN|_max²=b²+6b+9，，由題意得b²+6b+9=50
∴b=-3±5

2

，與0＜b＜3矛盾，（7分）
設(shè)b≥3得-b≤-3，當y=-3時，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，（合題薏）
∴橢圓方程是：

x2

32

+

y2

16

=1（8分）
②．設(shè)l：y=kx+m由

x2 32 + y2 16 =1 y=kx+m

?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0?m²＜32k²+16（9分）
又A、B兩點關(guān)于過點P(0，-

3

3

)、Q的直線對稱
∴kPQ=-

1

k

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則xQ=-

2km

1+2k2

，yQ=

m

1+2k2

（10分）
∴

yQ+ 3 3

xQ

=-

1

k

?m=

1+2k2

3

（11分）
∴(

1+2k2

3

)2＜32k2+16?0＜k2＜

47

2

（10分）
又k≠0，∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

（11分）
∴需求的k的取值范圍是-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

（12分）

點評：在處理直線與圓錐曲線的關(guān)系類問題時，我們的使用的方法及思路一般有：①聯(lián)立方程；②設(shè)而不求；③韋達定理；④弦長公式等．