Question

已知命題：P：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立；q：函數f（x）=x³+mx²+（m+6）x+1存在極大值和極小值．求使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：若p真，求出

a2+8

在a∈[1，2]上的最小值，令|m-5|小于等于最小值解不等式求出m的范圍，
若q真，令f（x）的導函數的判別式大于0，求出m的范圍，求出命題q為真時m的范圍；再根據復合命題真值表求出p真、q真時m的范圍．

解答：解：命題P為真：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立．
∵

a2+8

≥3，a∈[1，2]，
∴應有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
命題q為真：函數f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在極大值和極小值，則有△=4m²-12（m+6）＞0．
解得m＞6或m＜-3．
根據復合命題真值表，若“P且q”為真命題，則命題P，命題q都是真命題，
則使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍是：6＜m≤8．

點評：解決不等式恒成立問題常采用的方法是分離出參數，構造新函數，求函數的最值；求復合命題真假的問題常轉化為構成復合命題的簡單命題的真假問題來處理．