Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2+ 的圖象經(jīng)過點（2，3），a為常數(shù)．
（1）求a的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（2）用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在（a，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=2+ 的圖象經(jīng)過點（2，3），

∴2+ =3，解得a=1；

∴f（x）=2+ ，且x﹣1≠0，則x≠1，

∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠1}；

（2）解：用函數(shù)單調(diào)性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)如下；

設(shè)1＜x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=（2+ ）﹣（2+ ）= ，

∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

【解析】（1）把點（2，3）代入函數(shù)解析式求出a的值；根據(jù)f（x）的解析式，求出它的定義域；（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的定義域及其求法(求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零)，還要掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．